定积分怎么求

不定积分是一组导数相同的原函数，定积分是数值。求一个函数的原函数叫做求其不定积分；求一个函数对应于闭区间上有标记点的黎曼和的极限，使得这个划分的参数趋于零，称为这个函数在这个闭区间上的定积分。即已知导数为原函数。如果f(x)=f(x)，那么[f(x)c]=f(x)。(c r)。也就是说，

不定积分_王杰通MBAGCT考试中心_新浪博客积分f(x)，因为F(x) c的导数也是f(x)(C是任意常数)所以可能得不到。所以f(x)积分的结果数不胜数，不确定。我们总是用F(x) C来代替，这叫不定积分。也就是说，如果一个导数有一个原函数，那么它就有无穷多个原函数。

定积分就是求区间[a，b]中图线下函数f(X)所围成的面积。即y=0，x=a，x=b，y=f (x)围成的图的面积。这个图形叫弯曲梯形，特殊情况是弯曲三角形。[1]

设函数f(x)在区间[a，b]上连续，将区间[a，b]分成n个子区间[a，x0]，(x0，x1]，(x1，x2)、(xi，b)。我们可以知道每个区间的长度为x1=X0-a，做一个求和公式(见右下图)，设=max{x1，x2，…，xi}(即属于最大区间长度)，那么当0时，求和公式无限接近一个常数，称为区间[a，b]中函数f(x)的定积分，写成(见右下图):

其中：a称为积分下限，b称为积分上限，区间[a，b]称为积分区间，函数f(x)称为被积函数，x称为积分变量，f(x)dx称为被积函数表达式，称为整数。

之所以叫定积分，是因为积分后的值是确定的，是数字，不是函数。

定积分的官方名称是黎曼积分。用黎曼自己的话来说，就是把一个函数在直角坐标系中的像用一条平行于Y轴的直线分割成无数个矩形，然后把某个区间[a，b]内的矩形相加，得到这个函数在区间[a，b]内的像的面积。定积分的上下限其实就是区间的两个端点A和B。

我们可以看到，定积分的本质是无限细分图像并相加，而积分的本质是求一个函数的原函数。他们好像没有什么联系，那为什么定积分要写成积分呢？

定积分就是把一个函数在一定区间内的像[a，b]分成n个部分，用一条平行于Y轴的直线把它分成无数个矩形，然后求出n 时所有这些矩形的和。传统上我们用等差数列来分点，即相邻两点之间的距离 x相等。但必须指出的是，即使 x不相等，积分值还是一样的。我们假设这些“矩形面积和”s=f(x1) x1 f(x2) x2…f[x(n-1)]x(n-1)，那么当n 时，x的最大值趋于0，所以所有的x都趋于0，所以s仍然趋于整数值。

利用这个规律，我们可以在知道牛顿-莱布尼茨公式之前，对一些函数进行积分。举个例子，我们可以证明对于函数f(x)=x ^ k(kq，k-1)，有一个下限a和一个上限b ^ f(x)dx=(b(k ^ 1)-a(k ^ 1))/(k ^ 1)。

我们选择等比数列来分点，设比值q=n (b/a)，那么b/a=q n，b=AQ n，设顶点x0=a，x1=AQ，x2=AQ 2.xn=AQ n=b，因为f (XJ)=XJ k=a k * q JK和XJ=x(j ^ 1)-XJ=AQ(j ^ 1)-AQ

sn=a^k*(aq-a)a^k*q^k*(aq^2-aq)a^k*q^2k*(aq^3-aq^2)……(a^k*q^(n-1)k*[aq^n-aq^(n-1)]

然后提出一个k * (AQ-A)

sn=a^(k 1)*(q-1)*[1 q^(k 1 q^2(k 1 ……q^(n-1)(k 1]

利用等比级数公式，我们得到

sn=(q-1)/(q^(k 1)-1)*(b^(k 1)-a^(k 1))=(b^(k 1)-a^(k 1))/n

其中n=(q(k ^ 1)-1)/(q-1)，设k=u/v(u，vZ)，q (1/v)=s，那么

n=(s^(k 1)v-1)/(s^v-1)=(s^u v-1)/(s^v-1)=((s^(u v)-1)/(s-1))/((s^v-1)/(s-1))

随着n的增加，s和q都趋于1，所以n的极限是(u v)/v=u/v 1=k ^ 1。

所以下限a和上限b f(x)dx=(b(k ^ 1)-a(k ^ 1))/(k ^ 1)。

:整数前面可以提到常数。性质:代数和的积分等于积分的代数和。

:定积分的可加性：如果积分区间[a，b]被C一分为二，

有子区间[a，c]和(c，b](见右图)

Risch算法

如果区间[a，b]中f(x)0，则 _ a b (f (x) dx) 0

(1)f(x)C([a，b])；

(2)x=(t)是奇异的，在[，]上可导；

(3)当t，a(t)b，且=a，=b时，

然后a b(f(x)dx)=(f((t))'(t)dt)

偏积分

设u=u(x)，v=(x)在区间[a，b]内均可导，u’，v’r([a，b])，则有一个偏积分公式

*_a^b(uvdx)=uv_a^b-_a^b(uvdx)

定积分和不定积分看似截然不同，但由于有一个数学上重要的理论支撑，它们在本质上是密切相关的。无限细分累加一个图看似不可能，但由于这个理论，可以转化为计算积分。这个重要的理论就是著名的牛顿-莱布尼茨公式，其内容是：

如果f(x)是[a，b]上的连续函数，且具有f(x)=f(x)，则 _ a b (f (x) dx)=f (b)-f (a)

用文字表示：定积分公式的值是原函数中的上限值与原函数中的下限值之差。

因为这个理论，揭示了积分与黎曼积分的本质联系，显示了它在微积分乃至高等数学中的重要地位。所以牛顿-莱布尼茨公式也被称为微积分的基本定理。

1、解决曲线边缘图形的面积问题

例如：求被抛物线y 2=4x和直线y=2x-4包围的应用(4)平面图形d的面积s。

2.求变速直线运动的距离

变速直线运动物体行进的距离s等于其速度函数v=v(t) (v(t)0)在时间间隔[a，b]内的定积分。

3.做可变力的工作

在变力F=F(x)的作用下，物体在位移区间[a，b]内所做的功等于F=F(x)在[a，b]内的定积分。(见图集《应用》)

定理1:如果f(x)在区间[a，b]上是连续的，那么f(x)在[a，b]上是可积的。

定理2:如果f(x)在区间[a，b]上有界，且只有有限个间断点，那么f(x)在[a，b]上可积。

募捐

检查我的收藏

有用1

已经投票了

[ng jif n]

编辑

锁

讨论

上传视频

本词条由“科普中国”科学百科词条编写应用

审计。

定积分是积分的一种，是函数f(x)在区间[a，b]内积分和的极限。这里要注意定积分和不定积分的关系：定积分存在的话是具体数值，不定积分是泛函表达式，只有数学计算关系(牛顿-莱布尼茨公式)。一个函数可以有不定积分，但不能有定积分；也可以用定积分代替不定积分。一个连续函数必须有定积分和不定积分；如果只有有限个间断点，那么定积分存在；如果存在跳跃间断，原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。

中文名

定积分

维尔娜丽丝

定积分

主题。

数学

原始品质

积分

意义解释

积分和的极限